Eugène Henry naît le 7 décembre 1828 à Rennes, dans un milieu artisan : son père, Jean-Baptiste Henry, est tourneur, et sa mère se nomme Jeanne Caroline Duval. Très tôt orienté vers la musique, il reçoit dans sa ville natale l'enseignement de Jean-Baptiste Jaillet, organiste rennais, et de Florent-Rémi Moulin. Il complète ensuite sa formation à Paris, où il travaille auprès de figures importantes de l'école d'orgue et du piano français : François Benoist, professeur au Conservatoire de Paris, le célèbre organiste et compositeur Alexandre-Pierre-François Boëly, et le pianiste virtuose Émile Prudent.
De retour à Rennes, Eugène Henry consacre l'essentiel de sa carrière au service de la cathédrale. Dès 1846, il en devient l'organiste et le maître de chapelle, fonctions qu'il exercera durant un demi-siècle, jusque vers 1896. C'est à la demande de Mgr Brossays Saint-Marc, archevêque de Rennes, qu'il est chargé de réorganiser la musique cathédrale. Dans cette perspective, il participe activement à la création d'une maîtrise — l'institution chargée de la formation musicale des enfants de chœur — à partir de 1850, et il en assure l'enseignement comme maître de la maîtrise dans les années suivantes.
Son action pédagogique dépasse le seul cadre de la cathédrale. Eugène Henry enseigne longuement au Collège Saint-Vincent (1846-1898) ainsi qu'à l'Institution du Sacré-Cœur, et dispense à partir de 1852 des cours de musique et d'orgue au Grand Séminaire de Rennes, contribuant ainsi à la formation musicale du clergé diocésain. Son influence se fait également sentir dans la vie musicale rennaise plus largement : il dirige la Société philharmonique de la ville durant les années 1874 à 1876.
Comme compositeur, Eugène Henry s'inscrit dans la tradition de la musique liturgique de son temps. Son œuvre la plus connue et la plus diffusée est un Recueil de faux-bourdons à quatre voix avec accompagnement d'orgue, publié à Rennes. Le faux-bourdon, technique d'harmonisation à plusieurs voix du plain-chant particulièrement prisée dans la musique d'Église française du XIXe siècle, trouve dans ce recueil une application pratique destinée aux chantres et aux maîtrises. Le succès de l'ouvrage fut suffisamment important pour qu'il connaisse plusieurs éditions successives.
Ses mérites de musicien d'Église et de pédagogue furent reconnus par plusieurs distinctions. Eugène Henry reçut les Palmes académiques et le titre d'officier de l'Instruction publique, marques de la reconnaissance de l'État pour son action éducative. Sur le plan religieux, il fut honoré de la croix de chevalier de l'ordre pontifical de Saint-Grégoire-le-Grand, l'une des plus hautes distinctions accordées par le Saint-Siège à des laïcs, et il fut admis parmi les membres de l'Académie Sainte-Cécile de Rome, prestigieuse institution dédiée à la musique sacrée.
Eugène Henry meurt le 21 avril 1903 à Rennes, à l'âge de 74 ans, au 9 rue de La Monnaie. Il est inhumé au cimetière du Nord de Rennes, auprès de ses deux épouses. Figure majeure de la musique liturgique rennaise du XIXe siècle, il aura durablement marqué la vie musicale de la cathédrale et la formation de plusieurs générations de musiciens et de chantres bretons.